क्या प्रथम-क्रम तर्क में एक अंतिम रूप से स्वयंसिद्ध अंकगणित होना संभव है?

निम्नलिखित में मैं जो कहता हूं वह पूरी तरह से गलत हो सकता है, इसके लिए क्षमा करें।

एनबीजी सेट सिद्धांत, जेडएफसी सेट सिद्धांत जितना ही शक्तिशाली है, क्योंकि वे दोनों प्रमेयों के एक ही सेट को साबित कर सकते हैं। दूसरी ओर, पीनो का अंकगणित सरल है, लेकिन यह कम शक्तिशाली भी है (उदाहरण के लिए, किर्बी-पेरिस हाइड्रा का प्रमेय पीनो के अंकगणित में सिद्ध नहीं किया जा सकता है)।

तो अनौपचारिक रूप से, सिद्धांत शक्ति के संदर्भ में (प्रमेयों की संख्या) जो उक्त सिद्धांत में सिद्ध हैं), हमारे पास NBG = ZFC > Peano है।

ZFC और Peano अंतिम रूप से नहीं हैं स्वयंसिद्ध, क्योंकि वे स्वयंसिद्ध स्कीमा पर भरोसा करते हैं, जो प्रथम-क्रम तर्क में स्वयंसिद्धों की अनंतता बनाते हैं। हालाँकि, एनबीजी अंतिम रूप से स्वयंसिद्ध है, क्योंकि इसमें प्रथम-क्रम तर्क में स्वयंसिद्धों की कोई योजना नहीं है।

तो इन सभी सिद्धांतों के बीच शक्ति संबंधों पर विचार करते हुए, क्या एक परिमित के साथ अंकगणितीय सिद्धांत का "अनुकरण" करना संभव होगा एनबीजी का उपयोग करने वाले सिद्धांतों की संख्या? यदि ऐसा है, तो क्या प्रथम-क्रम तर्क में सिद्धांतों की एक सीमित संख्या के साथ एक "नया" अंकगणितीय सिद्धांत (जरूरी नहीं कि सेट सिद्धांतों जितना शक्तिशाली हो) बनाना संभव होगा?

पहली बात जो इंगित करने वाली है वह यह है कि प्रथम क्रम अंकगणित के कई सिद्धांत हैं जो $\textbf{PA}$ से कमजोर हैं जो कि अंतिम रूप से स्वयंसिद्ध भी हैं। उदाहरण के लिए रॉबिन्सन अंकगणित $\textbf{Q}$ और $\textbf{I}\Sigma^0_n$ जो $\textbf{PA}$ है और प्रेरण $\Sigma^0_n$ सूत्रों तक सीमित है। यदि आप चाहते हैं कि सिद्धांत $\textbf{PA}$ का विस्तार करे और उसी भाषा में रहे तो मेरा मानना ​​है कि आप भाग्य से बाहर हैं। अर्थात्, प्रथम क्रम अंकगणित की भाषा में $\textbf{PA}$ के अंतिम रूप से स्वयंसिद्ध विस्तार नहीं हैं $\mathcal{L}_1=(0,S,+,\cdot,<)$. इस समय मेरे पास काये की किताब नहीं है लेकिन जब मेरे पास यह उत्तर होगा तो मैं इसका संदर्भ जोड़ दूंगा। विचार यह है कि $\textbf{PA}$ के विस्तार के किसी भी स्वयंसिद्धीकरण में आंशिक सत्य विधेय कारणों से सीमित जटिलता के सिद्धांत नहीं हो सकते हैं।

लेकिन $NBG$, $ZFC$ का "दूसरा क्रम" विस्तार है $\textbf{PA}$ का एक "दूसरा क्रम" एक्सटेंशन भी है जिसे $\textbf{ACA}_0$ कहा जाता है जो कि पूरी तरह से स्वयंसिद्ध है और रूढ़िवादी है $\textbf{PA}$. जिस तरह $NBG$ में हम कक्षाओं के बारे में बात करने में सक्षम होने के लिए भाषा का विस्तार करते हैं, उसी तरह हम संख्याओं के सेट के बारे में बात करने के लिए अंकगणित की भाषा का विस्तार करते हैं। हम निश्चित रूप से दूसरे क्रम के शब्दार्थ के साथ काम नहीं कर सकते हैं अन्यथा हम खुद को एक श्रेणीबद्ध सिद्धांत के साथ पाएंगे (विकिपीडिया लेख में हेनकिन शब्दार्थ देखें: https://en.wikipedia.org/wiki/Second-order_logic)।

संपादित करें: जिस तरह से हम पहले क्रम के अंकगणित $\mathcal{L}_1$ की भाषा को दूसरे क्रम के अंकगणित की भाषा में बदलते हैं, वह एक नई प्रकार की वस्तुओं को जोड़ना है, अर्थात् सेट की नंबर. हम इस परंपरा का उपयोग करते हैं कि संख्या चर को छोटे अक्षरों $x,y,z,w,\dots$ और दूसरे क्रम के चर को बड़े अक्षरों $X,Y,Z,\dots$ से दर्शाया जाता है। हम भाषा में एक नया प्रतीक $\in$ जोड़ते हैं जो एक द्विआधारी विधेय का है जो पहली प्रविष्टि के रूप में एक संख्या पद और दूसरी प्रविष्टि में एक निर्धारित पद को स्वीकार करता है। हम इस भाषा को $\mathcal{L}_2$ या दूसरे क्रम अंकगणित की भाषा के रूप में संदर्भित करते हैं।

$\textbf{ACA}_0$ को $\mathcal{L}_2$ सिद्धांत के रूप में स्वयंसिद्ध किया जा सकता है संख्याओं के लिए $\textbf{PA}$ के समान स्वयंसिद्ध होना, और सेट क्वांटिफायर के बिना प्रत्येक सूत्र $\varphi$ के लिए एक स्वयंसिद्ध जो बताता है कि सेट $\{x:\varphi(x)\}$ मौजूद है, इसे अंकगणितीय समझ स्वयंसिद्ध योजना कहा जाता है। $\textbf{ACA}_0$ के अंतिम रूप से स्वयंसिद्ध होने का कारण अनिवार्य रूप से पोस्ट के प्रमेय के कारण है, कोई अंकगणितीय समझ को उस स्वयंसिद्ध से प्रतिस्थापित कर सकता है जिसमें कहा गया है कि प्रत्येक सेट का ट्यूरिंग जंप मौजूद है और सेट इंडक्शन स्वयंसिद्ध द्वारा इंडक्शन स्वयंसिद्ध है। विवरण सिम्पसन के दूसरे क्रम के अंकगणित के सबसिस्टम और हेजेक और पुडलक के दूसरे क्रम के अंकगणित के मेटामैथेमेटिक्स में हो सकते हैं।